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La geometría

Es una disciplina que expresa en cada resultado la representación que tenemos del universo y de todos los cuerpos que él contiene. Por tanto, hoy su estudio es necesario en la preparación del ingeniero, el arquitecto, el dibujante y del hombre de ciencia en general.

La geometría es una rama de las matemáticas que estudia idealizaciones del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc.

Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.

Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).


La geometría clásica se encargaba de estudiar construcciones utilizando regla y compás. Posteriormente y dado que, toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre los mismos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos.


La barrera entre el álgebra y la geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen, en el cual se define a la geometría como el estudio de las invariantes de un conjunto mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes.

Axiomas, definiciones y teoremas

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores, para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.

El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.

Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta que las definiciones, axiomas y teoremas no sólo pretenden describir el comportamiento de unos objetos. Cuando axiomatizamos algo, convertimos ese comportamiento en nuestro objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelos).

Esto significa que en adelante, las palabras "punto", "recta" y "plano" deben de perder todo significado visual. Si se conserva la idea de punto, recta y plano como lo que comúnmente se comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y carentes de importancia.
Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo tradicional.

Por ejemplo, si en la noción de "punto" consideramos el modelo en el que un punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado:
f(x) = ax2 + bx + c

Axiomas

En geometría sintética, los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos, definidos en función al punto, la recta y el plano. Se distinguen cuatro grupos de axiomas. Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría de otra.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función al punto; no tiene sentido hablar de recta o plano. f(x) puede definir cualquier función llámese recta, circunferencia, cuadrado de la circunferencia, planos, entre otros.

Tipos de geometría

Cada sistema axiomático determina una matemática (en este caso una geometría). Si agregamos mayor cantidad de axiomas, todos los teoremas válidos en la primera geometría valen también para la segunda (la que tiene los axiomas de la primera y otros más).

Los axiomas hasta aquí enunciados se encuentran en todos los tipos de geometría (aunque no siempre enunciados en la misma forma). A aquella que une las definiciones, los axiomas, los teoremas y su uso se llama geometría absoluta o geometría neutral.

Véase también

• Geometría analítica
• Geometría diferencial
• Geometría euclídea
• Geometría euclidiana
• Geometría proyectiva
• Geometría descriptiva
• Geometría espacial
• Geometría de incidencia
• Geometría de dimensiones bajas

Enlaces externos

• Portal:Matemática Contenido relacionado con Matemática.

Commons

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Geometría.

Wikcionario

• Wikcionario tiene una entrada sobre geometría.
• Demostraciones del quinto postulado
• Epsilones - Los tres problemas clásicos de la geometría
• Fórmulas geométricas de áreas y volúmenes
• Arte Geométrico
• Anamorfosis espacial múltiple
• Lecciones en PowerPoint de Geometría Plana, Álgebra y Matemáticas Básicas. Lecciones que introducen conceptos y resuelven problemas paso a paso mediante colores y animaciones para guiar en el aprendizaje.
• Construcciones Geométricas en Google Maps